柯林斯公式及光学系统矩阵元素的实验测定 李俊昌专栏

　　，柯林斯将矩阵光学与菲涅耳衍射积分相结合，基于程函理论导出了这个公式。该公式可以准确地计算光波通过2×2光学矩阵描述的光学系统的衍射。2017年，光学名著《傅里叶光学导论》第4版介绍了柯林斯公式

　　由于应用研究的需要，作者20世纪90年代接触到柯林斯公式，将公式用于作者提出的激光通过光束整形系统的衍射计算后，引入菲涅耳函数对柯林斯公式近似表示，显著简化了描述光学系统性能的衍射计算。

　　《傅里叶光学导论》中定性地介绍了光波通过光学系统时瑞利的衍射计算理论，是否能基于瑞利的衍射理论重新导出柯林斯公式，成为作者的研究课题。为此，让光波到达光学系统出射光瞳的传播用矩阵光学描述，此后再引入菲涅耳衍射积分进行后续研究，果然导出柯林斯公式[4]。

　　柯林斯公式的计算通常采用快速傅里叶变换进行[5-6]，但计算前必须知道组成光学系统的所有部件的2×2光学矩阵元素，准确测量每一部件之间的间隔，并按照光波通过光学系统的顺序，让所有部件及衍射空间的光学矩阵作乘积运算才能获得光学系统的光学矩阵。当光学系统的部件较多时，确定每一光学部件的矩阵元素及准确测量每一部件间的距离是一件细致而繁杂的工作，容易形成测量的累计误差，累计误差将导致衍射计算误差。

　　为便于柯林斯公式的实际应用，本文基于光波通过光学系统的直边衍射条纹分布公式，提出通过衍射条纹测定光学系统矩阵元素的方法。并且，通过附录介绍矩阵光学与瑞利的衍射理论相结合导出柯林斯公式的数学过程。

　　在互联网时代，可以从网上方便购买2020年由科学出版社出版的近代光学名著《傅里叶光学导论》第4版，这是进入昆工光学点攻读学位的研究生在上《信息光学教程》课时，老师建议必须购买的经典著作。入学一年的黄金鑫和赵雯丽不例外，人手一部。过去的一年，因课程较多，除了偶尔参阅外，还没有认真阅读。

　　新学年开始了，黄金鑫开始有计划地看这个大部头的经典著作。这一天，他来到图书馆一楼大厅的单人自习桌前坐下。做完作业后，开始认真地阅读……

　　在《傅里叶光学导论》第4版中，关于柯林斯公式，顾德门教授是参照Collins S. A. 1970年的论文[1]及1986年A.E.Siegman的光学名著《Lasers》[2]引入的。书中4.2.6节给出一维情况下的柯林斯公式的数学推导过程。6.4.1节将研究结果推广为相干光通过2×2矩阵

　　式中，λ为光波长，，为光学系统入射平面上的光波复振幅，U2(x,y)为光波穿过光学系统后观察平面上的复振幅。

　　过去一年，小黄已经在研究生课中学习过柯林斯公式，但有印象是该公式没有省略常数相位因子。究竟这个常数相位因子是否有必要保留呢？于是，他打开《信息光学教程》第2版[7]，从刚学过的这本教材中找到带有常数相位因子的柯林斯公式

　　式中, k=2π/λ，L为光学系统沿轴上的光程，U0(x0,y0)为光学系统入射平面上的光波复振幅,U(x,y)为光波穿过光学系统后观察平面上的复振幅。

　　“也许，当从激光器发出的光被分束后通过两个不同的光学系统后再相遇，那么，两系统的轴上光程L会有区别。为描述相遇时的干涉问题，大约是保留为好……”

　　原来，彭颖对上次他们一起做的用菲涅耳函数计算直边衍射的工作认真思考后，觉得理论计算与实验测量如此吻合，很想能将其研究推广应用于她现在的彩色数字全息课题研究。具体而言，就是利用光波通过光学系统的直边衍射条纹公式确定彩色显微数字全息检测中不同色光通过同一光路时的光学矩阵。因为先前的研究是将物光光路的光学矩阵对每一色光视为相同，其理论上不严谨。

　　当她将这个想法在她学位论文检查会上提出时，得到她的指导教师宋庆和以督导身份参加会议的的支持。

　　彭颖的想法是这样的，按照《激光的衍射及热作用计算》[4]一书给出的光波通过由2×2矩阵元素A、B、C、D描述的直衍射条纹公式，第n级衍射暗纹到0级暗纹的距离为

　　由于不同色光的光波长λ不相同，利用上述公式，通过直边衍射条纹的检测有可能获得不同色光所对应的A、B、C、D参数值。若研究成功，则可提高彩色数字全息检测质量。

　　听了小彭的想法，宋老师当即表示：“想法不错，检测物体三维微形变时，用到三个色光，但目前均将物光光路的矩阵参数视为相同。为确定每一色光对应的A、B、C、D参数，应该在系统不同位置进行三次直边衍射条纹的测试，因此4个参数只要知道其中3个就行了。”

　　“这是一个很有意义的工作！”完全同意，并补充说道：“2020年科学出版社出版的光学名著《傅里叶光学导论》第4版报导了柯林斯公式。由于这是影响着国内外几代光学工作者的经典著作，对第4版的学习，将会促进这个公式在国内的广泛使用。虽然我们的教材中有柯林斯公式的推导及计算研究，为配合这部光学名著的学习，我们若能就柯林斯公式的实际应用做一点工作非常好。”

　　接着，又说：“柯林斯公式的计算必须知道光学系统的所有部件的2×2光学矩阵元素才能获得系统的光学矩阵。当光学系统的部件较多时，确定每一光学部件的矩阵元素及准确测量每一部件间的距离是很繁杂的工作。虽然以前我们曾经就这个问题采用数字全息检测的方法做过研究[8]，但按照小彭提出的想法，直边衍射条纹的实验测量比数字全息要方便得多。如果能够以较高的精度实验测量出光学系统的矩阵参数，对柯林斯公式的计算将提供很大方便。

　　十年前，我们曾经将柯林斯公式用于彩色数字全息研究，虽然论文发表了[9]，但通过光学系统时每种色光的对应的系统光学矩阵均视为相同，从严格的理论意义上看，分别用上三种色光对应的光学系统矩阵元素能够得到更好的重建真彩色像。一会我将这篇文章发到研究生群，供大家参考。”

　　为能够得到实验证明，她设计了由两个透镜组成的光学系统，要进行三种不同位置的直边衍射实验。因此，她请一位同窗师兄及小师弟黄金鑫来帮忙。

　　图1为数字全息系统简化光路。图1中，由某一色光照明下物体发出的波穿过负透镜L0及分束镜Ms后才到达CCD探测器。物平面到CCD平面构成光学系统。

　　图2是利用三种不同色光照明物体时，依次用CCD记录下全息图后重建物体的不同色光分量及最后合成的真彩色物像。

　　认为，虽然理论上不同色光对应的光学矩阵元素数值应不相同。然而，由于该论文是用柯林斯公式研究重建像的位置，具有新颖性，论文被国外杂志接受并发表了。

　　在彩色数字全息实验研究中，如果三种色光共用的物光通道测量的光学矩阵参数有较明显的差异，利用实际测量的光学矩阵来进行彩色数字全息的波前重建就非常必要了。

　　看了上面这篇论文，大家对采用实验方法确定光学系统的矩阵元素充满期待，以下就介绍彭颖经过认真思考后的理论分析及实验研究方案。

　　在待确定矩阵元素A、B、C、D的光学系统入射平面前方距离z0的平面P0处放置直边光阑，让沿z轴传播的平面波照明光阑后，光学系统出射平面P2上先记录直边衍射图案T0。将平面P0到P2的光学矩阵视为

　　将直边光阑移到光学系统的入射平面P1，出射平面P2上记录下直边衍射图像T1。按照（1）式，通过直边衍射图T0、T1衍射暗纹的测量可以确定A0B0及AB之值。因此，通过（3）式能够确定矩阵元素A、B。

　　此后，在光学系统输出平面P2处放置直边光阑，后面距离z1的P3平面再测量直边衍射图案T3。若照明光是空间变化率很小的平面波，让光波照明只允许1、4象限透光的半无限大平面后，经过距离z在P3平面的衍射场强度，再进行数算及整理后，引入常数因子Θ以及菲涅耳函数C及S，P3平面的衍射场强度可以写为

　　。将（3）式得到的A的数值代入后，即能求出矩阵元素C。由于D=（1+BC）/A，四个矩形阵元素即可求得。

　　图4中，由虚线框住的光学系统包含两个透镜，其焦距分别为300 mm及400 mm，系统入射平面P1到透镜1的距离d0=200 mm，两透镜间距离d1=700 mm，第二个透镜到出射平面P2的距离d2=200 mm。

　　按照上述光学系统，将CCD置于平面P2，直边光阑先后置于平面P1,P0,P0’，用波长0.0006328 mm的准直扩束平行光沿z轴正向照明，CCD记录下三个直边衍射强度图像E1,E0,E0’。

　　到达实验室的黄金鑫，看到彭师姐和另一师兄正在专心致志地调试光学系统。彭颖回头简单说道：“小黄，快套上脚套，你来记录衍射图。”

　　两天后，黄金鑫收到彭颖的信息。他们的实验应该没错，但有一些令人深思的问题。彭师姐是这样说的：

　　小黄，我认真看了基于柯林斯公式导出的直边衍射条纹公式，那是将柯林斯公式表示为卷积形式后，参照菲涅耳衍射积分用同样的方法导出的，应该没问题。但是，按照实验参数模拟的直边衍射条纹分布图像与两天前我们做的实验不完全相同。

　　我利用模拟图像通过衍射条纹间隔的测量的确获得了光学系统的矩阵参数。当然，这是一种自洽式的图像处理操作，得到运算前假定的矩阵参数不足为奇。但是，如果用实验图像来确定矩阵参数，这就与我们实验时设计的参数有差异了。

　　我们实验时用的CCD像素宽度为0.0052 mm，面阵为2048×1536。下面的前三组图是CCD记录的三个直边衍射强度图像E1,E0,E0’与理论模拟图像的比较，每幅图像的宽度为10.65 mm。

　　可以看出，虽然实验测量与理论模拟的图像不完全一致，但条纹分布变化规律是相似的。衍射条纹的稀疏与密集与矩阵元素B×A的数值相关。为说明这一点，将柯林斯公式（2）写成卷积形式

　　由于积分式前的相位因子对光波场的强度分布无影响，将上式与菲涅耳衍积分比较可知，式中BA的数值等效于菲涅耳射的距离，其数值越小则衍射条纹越密集。如果将实验研究中放置直边光阑的平面视为一个光学系统的初始平面，以上三直边衍射图对应的数值BA分别为E1：BA=-377.6 mm；E0：BA=-200 mm；E0’：BA=-22.222 mm。因此，图7的衍射条纹最密集。

　　对于图8中的直边衍射图，由推导式（4）的过程中可知，其直边衍射图的计算类似于直边光阑在平面波照明下经过距离z3(1+z3C/A)的菲涅耳衍射，其数值为200 mm。因此，衍射条纹的分布与图6相同，只是方向相反。理论模拟与实验测量均满足同一规律。

　　其二、将透镜视为薄透镜时，理论上透镜所在位置应该是沿光传播方向的第二主面。但实验测量中习惯视为透镜中心所在平面位置，因此元件间距离参数的测量不够准确。是否今后应参照透镜生产厂家给定的参数来确定第二主面的位置？

　　其三、这也许是最重要的结论，那就是通过实验测量的矩阵参数才是实际光学系统的真实参数。如果实验测量的参数与理论计算的有较大差异，重要的彩色数字全息实验是否有必要重新做或者按照实验测量的光学矩阵来重新处理数据？

　　为回答上述问题，我觉得应该重新进行一次实验，特别是将这种确定光学矩阵的方法与先前用数字全息检测的方法作比较，看看两种方法哪一种更适用。如果三种色光测量的矩阵参数的较明显差异，这对我们提高彩色数字全息检测质量的研究将非常有价值。

　　我已经将上述内容告诉宋老师，宋老师支持我的分析，并准备对上述研究认真讨论一次后再做实验。此外，宋老师建议，为能应用好柯林斯公式，除要了解公式中各变量的物理意义外，还应认真看看柯林斯公式是怎样推导出来的。我们应先看1970年柯林斯所发表的论文，然后再看按照瑞利的衍射理论从另一理论途径进行的推导。

　　宋老师说，要取得一项科学成果，总是要经过刻苦的努力研究。对。